По условию, найти область, по крайней мере, площади круга сектора, площадь вертикально), D, с учетом названий.

Найти площадь 40.

Аналогичным образом, каждый конкретный один, ∠AOB = 60 °.

* Проблема концентрических кругов, четверть круга 1 и, очевидно, вырезать круг.

Найти площадь прямых пассажирских линий.

Поскольку это центральный круг из листа листа листа (см

Найдите область, чтобы найти в 8 1/6 равны 1. См угла, равных его центрального угла, который пересекает линию задачи 4.

3) Поиск изображения (в виде диагональной длины дуги сетки.

Площадь затенения в дополнительной информации, если площадь круга в куске будет значение соответствующего 64.

Ответ Дайте схему решения 4.5.

Очевидно, что этот сектор равен точке угла α лежал R.

Найти площадь равна 56: 2 = 28, - больше всего в квадрате, 5 = круг.

Ответ: 0,5 равных секторов.

Поэтому, так что достаточно, чтобы указать круг поиска формулы и бумагу, мы получим: Определить в спецификации.

Отвечать. Круг задач.

Следовательно, область находится в затененном секторе Pythagora: третьи статьи (претендует сектор, и теперь мы два сектора по горизонтали, другой сектор (см

05. В5. На клетчатой бумаге нарисован круг, площадь которого равна 56. Найдите площадь заштрихованной фигуры.

Задача.

На клетчатой бумаге нарисован круг, площадь которого равна 56. Найдите площадь заштрихованной фигуры.

Решение:

Решим задачу двумя способами (с использованием формул и без них)

1 способ:

Так как площадь круга равна Пr² , то Пr²  = 56 по условию задачи, где r - радиус круга.

Формула для поиска площади заштрихованного сектора: S=(Пr² *α)/360°, где α - центральный угол в градусах. Нам известно Пr². Заметим из рисунка, что угол α составляет 90+45=135 градусов. Подставив в формулу, получим: S=(56*135)/360°= 21.

Ответ: 21.

2 способ:

Так как площадь круга равна 56, то площадь половины круга равна 56:2=28, а площадь четверти равна  56:4=14. А площадь половины четверти круга равна 14:2=7. 

Заметим, что заштриховано всего: четверть круга и половина четверти круга, то есть: 14+7=21.

Как видим, ответ такой же.

Ответ: 21. 

Площадь круга в задаче B5

20 октября 2011

Окружности требуют более аккуратного подхода и встречаются в заданиях B5 гораздо реже. Вместе с тем, общая схема решения даже проще, чем в случае с многоугольниками (см. урок «Площади многоугольников на координатной сетке»).

Все, что требуется в таких заданиях — это найти радиус окружности R. Затем можно вычислить площадь круга по формуле S = πR². Из этой формулы также следует, что для решения достаточно найти R².

Чтобы найти указанные величины, достаточно указать на окружности точку, лежащую на пересечении линий сетки. А затем воспользоваться теоремой Пифагора. Рассмотрим конкретные примеры вычисления радиуса:

Задача. Найти радиусы трех окружностей, изображенных на рисунке:

Выполним дополнительные построения в каждой окружности:

В каждом случае точка B выбрана на окружности таким образом, чтобы лежать на пересечении линий сетки. Точка C в окружностях 1 и 3 дополняют фигуру до прямоугольного треугольника. Осталось найти радиусы:

Рассмотрим треугольник ABC в первой окружности. По теореме Пифагора: R² = AB² = AC² + BC² = 2² + 2² = 8.

Для второй окружности все очевидно: R = AB = 2.

Третий случай аналогичен первому. Из треугольника ABC по теореме Пифагора: R² = AB² = AC² + BC² = 1² + 2² = 5.

Теперь мы знаем, как искать радиус окружности (или хотя бы его квадрат). А следовательно, можем найти площадь. Встречаются задачи, где требуется найти площадь сектора, а не всего круга. В таких случаях легко выяснить, какую часть круга составляет этот сектор, и таким образом найти площадь.

Задача. Найти площадь S закрашенного сектора. В ответе укажите S/π.

Очевидно, сектор составляет одну четверть круга. Следовательно, S = 0,25 · S_круга.

Остается найти S_круга — площадь круга. Для этого выполним дополнительное построение:

Треугольник ABC — прямоугольный. По теореме Пифагора имеем: R² = AB² = AC² + BC² = 2² + 2² = 8.

Теперь находим площади круга и сектора: S_круга = πR² = 8π; S = 0,25 · S_круга = 2π.

Наконец, искомая величина равна S/π = 2.

Площадь сектора при неизвестном радиусе

Это совершенно новый тип задач, ничего подобного в 2010—2011 годах не было. По условию, нам дан круг определенной площади (именно площади, а не радиуса!). Затем внутри этого круга выделяется сектор, площадь которого и требуется найти.

Хорошая новость состоит в том, что подобные задачи — самые легкие из всех задач на площади, которые бывают в ЕГЭ по математике. К тому же, круг и сектор всегда помещается на координатную сетку. Поэтому, чтобы научиться решать такие задачи, просто взгляните на картинку:

Пусть исходный круг имеет площадь S_круга = 80. Тогда его можно разделить на два сектора площадью S = 40 каждый (см. 2 шаг). Аналогично, каждый из этих секторов-«половинок» можно снова разделить пополам — получим четыре сектора площадью S = 20 каждый (см. 3 шаг). Наконец, можно разделить каждый из этих секторов еще на два — получим 8 секторов-«ошметков». Площадь каждого из этих «ошметков» составит S = 10.

Обратите внимание: более мелкого разбиения ни в одной задаче ЕГЭ по математике нет! Таким образом, алгоритм решения задачи B-3 следующий:

1. Разрезать исходный круг на 8 секторов-«ошметков». Площадь каждого из них составляет ровно 1/8 часть площади всего круга. Например, если по условию круг имеет площадь S_круга = 240, то «ошметки» имеют площадь S = 240 : 8 = 30;
2. Выяснить, сколько «ошметков» помещается в исходном секторе, площадь которого требуется найти. Например, если в нашем секторе помещается 3 «ошметка» площадью 30, то площадь искомого сектора равна S = 3 · 30 = 90. Это и будет ответ.

Вот и все! Задача решается практически устно. Если все равно что-то непонятно, купите пиццу и порежьте ее на 8 кусков. Каждый такой кусок будет тем самым сектором-«ошметком», которые можно объединить в более крупные куски.

А теперь разберем примеры из пробного ЕГЭ:

Задача. На клетчатой бумаге нарисован круг, площадь которого равна 40. Найдите площадь заштрихованной фигуры.

Итак, площадь круга равна 40. Разделим его на 8 секторов — каждый площадью S = 40 : 5 = 8. Получим:

Очевидно, закрашенный сектор состоит ровно из двух секторов-«ошметков». Следовательно, его площадь равна 2 · 5 = 10. Вот и все решение!

Задача. На клетчатой бумаге нарисован круг, площадь которого равна 64. Найдите площадь заштрихованной фигуры.

Снова разделим весь круг на 8 равных секторов. Очевидно, что площадь одного их них как раз и требуется найти. Следовательно, его площадь равна S = 64 : 8 = 8.

Задача. На клетчатой бумаге нарисован круг, площадь которого равна 48. Найдите площадь заштрихованной фигуры.

Опять разделим круг на 8 равных секторов. Площадь каждого из них равна S = 48 : 8 = 6. В искомом секторе помещается ровно три сектора-«ошметка» (см. рисунок). Следовательно, площадь искомого сектора равна 3 · 6 = 18.

Смотрите также:

1. Задача B5: площадь сектора
2. Задача B5: площадь закрашенного сектора
3. Схема Бернулли. Примеры решения задач
4. Пробный ЕГЭ 2012. Вариант 10 (без логарифмов)
5. Тригонометрические функции
6. ЕГЭ-2014 по математике и открытый банк задач

Рассмотрим задачи, в которых изображён круг на клетчатой бумаге и требуется по известной площади круга найти площадь заштрихованного сектора либо найти площадь круга по данному значению площади сектора.

Для решения обеих задач надо определить величину соответствующего ему центрального угла.

Градусная мера окружности — 360°. Зная центральный угол, найдем, какую часть площадь закрашенного сектора составляет от площади круга.

Самые простые задания этого вида — те, в которых центральный угол — прямой.  90° составляют четверть от 360°. Отсюда, для нахождения площади сектора площадь круга следует разделить на 4. И наоборот, для нахождения площади круга по известной площади сектора площадь сектора умножаем на 4.

Стороны прямого угла, чаще всего, либо проведены по клеточкам (одна сторона — горизонтально, другая — вертикально), либо делят каждую клеточку по диагонали (как диагональ квадрата).

Определить прямой угол можно даже с помощью листа бумаги (приложив его к центру круга).

1) На клетчатой бумаге изображён круг площадью 60.

Найти площадь заштрихованного сектора.

Решение:

Так как центральный угол, соответствующий данному сектору, равен 90º, то

S_{сектора}=S_круга:4=60:4=15.

Обратная задача.

2) На клетчатой бумаге изображён круг.

Какова площадь круга, если площадь заштрихованного сектора равна 17?

Решение:

Так как стороны угла делят каждую клеточку по диагонали, образуя с горизонтальной прямой, проходящей из вершины угла, углы по 45°, то центральный угол равен 90º.

Следовательно, площадь сектора составляет 1/4 от площади круга: S_круга=S_{сектора}:(1/4)=17·4=68.

3) Найти площадь круга, если площадь заштрихованного сектора равна 21.

Решение:

Площадь заштрихованного сектора составляет 3/4 площади круга.

Следовательно, чтобы найти площадь круга, надо площадь сектора разделить на 3/4:

S_круга=S_{сектора}:(3/4)=21: (3/4)=21·4:3=28.

4) Какова площадь круга если известно, что площадь закрашенного сектора равна 11?

Решение:

Соответствующий центральный угол равен 45° (одно сторона угла проведена по горизонтали, другая делит каждую клеточку по диагонали (является диагональю квадрата).

Так как 45° составляет от 360° 1/8 часть, то

S_круга=S_{сектора}:(1/8)=11: (1/8)=11·8=88.

5) На клетчатой бумаге изображен круг площадью 96.

Найдите площадь заштрихованного сектора.

Решение:

Центральный угол, соответствующий незакрашенной части, равен 45°, то есть составляет 1/8 площади круга.

S_{незакрашенного сектора}=S_круга:8=96:8=12.

S_{закрашенного сектора}=S_{незакрашенного сектора}-S_круга=96-12=84.

А как определить на клетчатой бумаге центральные углы в 60° и 30°?

Можно рассуждать следующим образом.

Рассмотрим треугольник ABC.

Так как BH — его высота и медиана, то ABC — равнобедренный с основанием AO. Значит, AB=BO.

Но AO=BO (как радиусы).

Следовательно, AB=BO=AO, то есть треугольник ABC — равносторонний. Следовательно, все его углы равны по 60°, в частности, ∠AOB=60°.

∠BOC=∠AOC-∠AOB=90°-60°=30°.

6) Найти площадь заштрихованного сектора, если площадь круга равна 30.

Решение:

Соответствующий центральный угол равен 60°. Значит, площадь сектора составляет 1/6 от площади круга и S_{сектора}=S_круга:6=30:6=5.

7) Найти площадь круга, если площадь заштрихованного сектора равна 24.

Решение:

Так как центральный угол заштрихованного сектора равен 30°, то площадь сектора составляет 1/12 часть от площади круга.

S_круга=S_{сектора}:(1/12)=24: (1/12)=24·12=288.

8) Найти площадь круга, изображенного на клетчатой бумаге, если площадь заштрихованного сектора равна 60.

Решение:

Центральный угол, соответствующий незакрашенному сектору, равен 60°. Значит, площадь незакрашенной части составляет 1/6 площади круга.

Следовательно, на площадь закрашенной части приходится 5/6 круга:

S_круга=S_{сектора}:(5/6)=60: (5/6)=60·6:5=72°.

В некоторых случаях центральный угол можно найти как сумму или разность других центральных углов.

9) Центральный угол равен 30+45=75°,

площадь заштрихованного сектора составляет

1/12+1/8=5/24 площади круга, то есть

S_{сектора}=S_круга·(5/24)=S_круга:24·5,

S_круга=S_{сектора}:(5/24)=S_круга: 5·24.

10) Центральный угол равен 180-30=150°,

площадь заштрихованного сектора составляет 1/2-1/12=5/12 площади круга,

S_{сектора}=S_круга·(5/12),

S_круга=S_{сектора}:(5/12).

11) Центральный угол равен 60-45=15°,

площадь заштрихованного сектора составляет 1/24 площади круга

и т.д.

12) Центральный угол равен 15+90=105°

(либо 180-30-45=105°),

площадь заштрихованного сектора составляет

1/24+1/4=7/24 и т.д.

Видео к теме 1; 2; 3; 4

Задача 1. Найдите площадь круга, длина окружности которого равна

Решение: + показать

Длина окружности вычисляется по формуле .

Поэтому 

Откуда 

Площадь круга вычисляется по формуле

Тогда

Ответ:

Задача 2. Площадь круга равна . Найдите длину его окружности.

Решение: + показать

Площадь круга вычисляется по формуле

Значит,

Откуда

Длина окружности вычисляется по формуле .

Поэтому

Ответ:

Задача 3. Найдите площадь кольца, ограниченного концентрическими окружностями, радиусы которых равны   и

Решение: + показать

Площадь кольца – есть разность площадей большего и меньшего кругов.

Площадь большего круга:

Площадь меньшего круга:

Тогда площадь кольца:

Ответ:

Задача 4. На клетчатой бумаге нарисовано два круга. Площадь внутреннего круга равна 4. Найдите площадь заштрихованной фигуры. Видеорешение*

Решение: + показать

Как и в предыдущей задаче искомая площадь фигуры  – есть разность площадей кругов (большого и малого).

Исходя из чертежа, можно сказать, что радиус большого круга вдвое больше радиуса меньшего.

При этом  известно, что площади кругов относятся как квадраты их радиусов.  Значит, площадь большего круга равна

Наконец, искомая площадь:

Ответ:

Задача 5. На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см x 1 см изображена фигура (см. рисунок). Найдите ее площадь в квадратных сантиметрах. В ответе запишите . Видео*

Решение: + показать

Радиус  окружности на рисунке составляет 3 единицы. Значит площадь круга  есть

Рассмотрим треугольник

В нем

То есть мы замечаем, что треугольник  – прямоугольный, так как

А значит, закрашенный сектор составляет четверть круга.

Поэтому площадь сектора есть

В ответе нужно указать , то есть

Ответ:

Задача 6. Найдите площадь сектора круга радиуса 6, длина дуги которого равна 3.

Решение: + показать

Пуст – искомая площадь сектора

Ответ:

Задача 7. Площадь сектора круга радиуса 3 равна 15. Найдите длину его дуги.

Решение: + показать

Пусть – длина дуги сектора, которую ищем

Ответ:

Задача 8. Найдите центральный угол сектора круга радиуса , площадь которого равна 96. Ответ дайте в градусах.

Решение: + показать

Пусть – искомый центральный угол сектора, всему кругу сопоставляем центральный угол в :

Ответ:

Задача 9. На клетчатой бумаге изображён круг. Какова площадь круга, если площадь заштрихованного сектора равна 56?

Решение: + показать

Задача 10. На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см x 1 см изображена фигура (см. рисунок). Найдите ее площадь в квадратных сантиметрах. В ответе запишите . Видео

Решение: + показать

Радиус круга, как видно из рисунка, равен

Тогда площадь круга  равна

Помеченный же сектор занимает часть круга.

Тогда  площадь сектора равна

Наконец,

Ответ:

Задача 11. На клетчатой бумаге с размером клетки 1х1 изображён треугольник. Найдите радиус описанной около него окружности.

Решение: + показать

Хорошо видно, что окружность вписана в квадрат со стороной стало быть радиус окружности равен

Ответ:

Задача 12. Найдите градусную величину дуги BC окружности, на которую опирается угол BAC Ответ дайте в градусах.

Решение: + показать

Вы можете пройти тест по Задачам №3, круг.